Research Article
BibTex RIS Cite

Some Theorems on Compactness and Completeness

Year 2018, , 119 - 124, 29.06.2018
https://doi.org/10.17798/bitlisfen.416698

Abstract

In
this work, we prove the validity of the converses of some theorems about
compactness and completeness. After we give some required basic definitions and
theorems, we define monolimit property for sequences and nets, convergent
subsequences property for first countable Hausdorff space, convergent subnets
property for general Hausdorff space, and also, we show that those properties
are equivalent to compactness and sequential compactness. On the other hand, we
prove that a necessary and sufficient condition for completeness of a metric
space is that every totally bounded subset of this space is relatively compact.
Finally, we give some examples from some abstract spaces and normed spaces for
application.

References

  • Giles J.R. 1987. Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Cambridge Univ. Press, 257p. Cambridge.
  • Kelley J.L. 1955. General Topology, Van Nosrand, 298p. Princeton.
  • Kuratowski K. 1966. Topology 1, Academic Press, 560p. Warsaw.

Some Theorems on Compactness and Completeness

Year 2018, , 119 - 124, 29.06.2018
https://doi.org/10.17798/bitlisfen.416698

Abstract

Bu
çalışmada, kompaktlık ve tamlık konularındaki bazı teoremlerin terslerinin de
doğru olduğunu ispatlayacağız. Çalışma için bize gerekli olan temel tanım ve
teoremlere değindikten sonra, diziler ve ağlar için tek limit özelliği, birinci
sayılabilir Hausdorff uzaylar için yakınsak alt diziler özelliği, genel
Hausdorff uzaylar için ise yakınsak alt ağlar özelliğini tanımlayacağız ve bu
özelliklerin kompaktlığa ve dizisel kompaktlığa denk olduğunu göstereceğiz.
Bunu yanı sıra, bir metrik uzayın tam olması için bir gerek ve yeter koşulun o
metrik uzaydaki tamemen sınırlı her alt kümenin rölatif kompakt olması olduğunu
ispatlayacağız. Son olarak ispatladığımız teoremlerin uygulaması için bazı
soyut uzaylardan ve bazı normlu uzaylardan örnekler vereceğiz.

References

  • Giles J.R. 1987. Introduction to the Analysis of Metric Spaces, Cambridge Univ. Press, 257p. Cambridge.
  • Kelley J.L. 1955. General Topology, Van Nosrand, 298p. Princeton.
  • Kuratowski K. 1966. Topology 1, Academic Press, 560p. Warsaw.
There are 3 citations in total.

Details

Primary Language English
Journal Section Articles
Authors

Ufuk Kaya

Publication Date June 29, 2018
Submission Date April 18, 2018
Acceptance Date May 23, 2018
Published in Issue Year 2018

Cite

IEEE U. Kaya, “Some Theorems on Compactness and Completeness”, Bitlis Eren Üniversitesi Fen Bilimleri Dergisi, vol. 7, no. 1, pp. 119–124, 2018, doi: 10.17798/bitlisfen.416698.



Bitlis Eren Üniversitesi
Fen Bilimleri Dergisi Editörlüğü

Bitlis Eren Üniversitesi Lisansüstü Eğitim Enstitüsü        
Beş Minare Mah. Ahmet Eren Bulvarı, Merkez Kampüs, 13000 BİTLİS        
E-posta: fbe@beu.edu.tr